Question

求方程2x²+5xy+2y²=2006的所有正整數(shù)解．

Answer 1

分析：首先將方程因式分解，先設(shè)x≥y≥1，則有2x+y≥x+2y＞x+y＞1，得出不同的情況，進行求根，由已知得出正確答案．

解答：解：方程兩端分解因式得
（2x+y）（x+2y）=2×17×59．
不妨先設(shè)x≥y≥1，則有①
2x+y≥x+2y＞x+y＞1．
由此，只有三種情況：

2x+y=59 x+2y=34

或

2x+y=118 x+2y=17

或

2x+y=1 003 x+2y=2.

由式②、③得x+y=31．
再由

x+y=31 2x+y=59

解得

x=28 y=3

由式④、⑤得x+y=45，與式①矛盾；
由式⑥、⑦得x+y=335，與式①矛盾．
故原方程的正整數(shù)解為

x=28 y=3

，

x=3 y=28.

．

點評：此題主要考查了分解因式法解方程，以及涉及到分類討論思想，題目比較典型．