Question

4．如圖，點A的坐標為（0，1），點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，取BC的中點P．當點B從點O向x軸正半軸移動到點M（2，0）時，則點P移動的路線長為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先過P作PD⊥x軸于D，作PE⊥y軸于E，根據(jù)△AEP≌△BDP（AAS），得出PE=PD，進而得到點P的運動路徑是∠AOM的角平分線，再分別求得當點B與點O重合時，OP=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，當點B與點M重合時，OP=$\sqrt{2}$OD=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，進而得到點P移動的路線長．

解答 解：如圖所示，過P作PD⊥x軸于D，作PE⊥y軸于E，則∠DPE=90°，∠AEP=∠BDP=90°，
連接AP，

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點，
∴AP=$\frac{1}{2}$BC=BP，且AP⊥BC，即∠APB=90°，
∴∠APE=∠BPD，
在△AEP和△BDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠BDP}\\{∠APE=∠BPD}\\{AP=BP}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△BDP（AAS），
∴PE=PD，
∴點P的運動路徑是∠AOM的角平分線，
如圖所示，當點B與點O重合時，AB=AO=1，OC=$\sqrt{2}$，
∴OP=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}\sqrt{2}$；

如圖所示，當點B與點M重合時，過P作PD⊥x軸于D，作PE⊥y軸于E，連接OP，

由△AEP≌△BDP，可得AE=BD，
設AE=BD=x，則OE=1+x，OD=2-x，
∵矩形ODPE中，PE=PD，
∴四邊形ODPE是正方形，
∴OD=OE，即2-x=1+x，
解得x=$\frac{1}{2}$，
∴OD=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴等腰Rt△OPD中，OP=$\sqrt{2}$OD=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴當點B從點O向x軸正半軸移動到點M時，則點P移動的路線長為$\frac{3}{2}\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，得出點P的運動路徑是∠AOM的角平分線．