Question

（2013•齊齊哈爾）已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（x₁，0）、（2，0），且-2＜x₁＜-1，與y軸正半軸的交點在（0，2）的下方，則下列結論：①abc＜0；②b²＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．則其中正確結論的序號是（　�。�

A．①②

B．②③

C．①②④

D．①②③④

Answer 1

分析：由于拋物線過點（x₁，0）、（2，0），且-2＜x₁＜-1，與y軸正半軸相交，則得到拋物線開口向下，對稱軸在y軸右側，于是可判斷a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0；利用拋物線與x軸有兩個交點得到b²-4ac＞0，即b²＞4ac；由于x=2時，y=0，即4a+2b+c=0，變形得2a+b+

c

2

=0，則根據0＜c＜2得2a+b+1＞0；根據根與系數的關系得到2x₁=

c

a

，即x₁=

c

2a

，所以-2＜

c

2a

＜-1，變形即可得到2a+c＞0．

解答：解：如圖，
∵二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（x₁，0）、（2，0），且-2＜x₁＜-1，與y軸正半軸相交，
∴a＜0，c＞0，對稱軸在y軸右側，即x=-

b

2a

＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，所以①正確；
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴b²-4ac＞0，即b²＞4ac，所以②正確；
當x=2時，y=0，即4a+2b+c=0，
∴2a+b+

c

2

=0，
∵0＜c＜2，
∴2a+b+1＞0，所以③錯誤；
∵二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（x₁，0）、（2，0），
∴方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁，2，
∴2x₁=

c

a

，即x₁=

c

2a

，
而-2＜x₁＜-1，
∴-2＜

c

2a

＜-1，
∵a＜0，
∴-4a＞c＞-2a，
∴2a+c＞0，所以④正確．
故選C．

點評：本題考查了二次函數的圖象與系數的關系：二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-

b

2a

；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）；當b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．