Question

如圖，點O是邊長為1的等邊△ABC內(nèi)的任一點，設∠AOB=°，∠BOC=°

（1）將△BOC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連結(jié)OD,如圖2所示. 求證：OD=OC。

（2）在（1）的基礎上，將△ABC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EAC，連結(jié)DE，如圖3所示. 求證：OA=DE

（3）在（2）的基礎上， 當、滿足什么關系時，點B、O、D、E在同一直線上。并直接寫出AO+BO+CO的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）∠α=∠β=120°，.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出∠DOC=60°，OC=CD，進一步可以得出△DCO為等邊三角形，即可以得出結(jié)論；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，再由全等的性質(zhì)可以得出△EAD≌△ABO，從而就可以得出結(jié)論；

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出△ADC≌△BOC，△EAD≌△ABO，就可以得出∠α=∠β=120°，再利用勾股定理就可以求出結(jié)論．

試題解析：（1）∵△BOC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，

∴CO=CD，∠DOC=60°，

∴△COD是等邊三角形，

∴DO=CO；

（2）∵△BOC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EDC，△ABC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EAC，

∴△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，

∴AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC，

∴∠EAC-∠DAC=∠ABC-∠OBC，

即∠DAE=∠OBA，

在△EAD和△ABO中，

，

∴△EAD≌△ABO，

∴OA=DE；

（3）∵△ABC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EAC，

∴AB=BC=CE=AE，

∴四邊形ABCE是菱形．

∵B、O、D、E在同一直線上，

∴B、O、D、E是菱形ABCE的對角線，

∴∠ABO=30°．

∵△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，

∴∠ADC=∠BOC=β，∠ADE=∠AOB=α，

∴∠CDE=360°-α-β．

∵△COD是正三角形，

∴∠COD=∠CDO=60°．

∵點B、O、D、E在同一直線上，

∴∠BOC=∠CDE=120°，

∴∠ADC=120°，

∴∠ADE=120°，

∴α=β=120°．

∴∠BAO=30°．

∴∠BAO=∠ABO，

∴AO=BO，

同理可得：AO=CO．

∴AO=BO=CO．

作OF⊥AB于F，設BF=a，則BO=2a，

∴∠BFO=90°，BF=AB=

在Rt△BOF中，由勾股定理，得

a=，

∴BO=，

∴AO+BO+CO=，

即AO+BO+CO的最小值為．

考點: 1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．