Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，且60°＜α＜120°，P為△ABC內部一點，且PC=AC，∠PCA=120°﹣α．①用含α的代數(shù)式表示∠APC；②求證：∠BAP=∠PCB；③求∠PBC的度數(shù)．

Answer 1

①解：∵AB=AC，∠BAC=α，PC=AC，
∴∠CPA=∠CAP，∠BCA=∠ABC，
∵∠CAP+∠CPA+∠ACP=180°，
∴∠CPA=∠CAP=（180°﹣∠ACP）÷2=（60°+α）÷2=30°+，
②證明：∵∠BAP=∠BAC﹣∠CAP，∠BAC=α，∠CAP=30°+，
∴∠BAP=∠BAC﹣∠CAP=α﹣（30°+）=﹣30°，
∴∠BCA=∠ABC=（180﹣a）÷2=90°﹣，
∴∠PCB=∠BCA﹣∠ACP=90﹣﹣（120°﹣α）=﹣30°，
∴∠BAP=∠PC，
③解：分別延長CP、AP交BC于F點，交AB于E點，
∵∠BAP=∠PCB，
∴∠PFB=∠PEB，
∴A，E，F(xiàn)，C四點共圓，
∴∠EFB=∠BAC=α，∠EFA=∠ECA，∠FEC=∠CAF，
∴BF=EF，EF=PF，
∴BF=PF
∴∠AFC=∠ABC+∠BAF=90°﹣+﹣30°=60°，
∴∠PBC=∠BPF=30°．