Question

11．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD的延長(zhǎng)線上，AE與CD的交點(diǎn)為G，且∠EAF=45°．
（1）試猜想線段EF、BE、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；
（2）若點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)△EGF與△EFA相似，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）猜想BE=DF+EF，將△ADF繞著點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△ABF′，通過角的計(jì)算可得出∠EAF′=∠EAF，結(jié)合AF=AF′、AE=AE即可證出△EAF≌△EAF′（SAS），進(jìn)而得出EF=EF′，再結(jié)合BE=BF′+EF′即可得出結(jié)論；
（2）由△EGF∽△EFA可得出∠EFG=∠EAF=45°，結(jié)合∠ECF=90°可得出CE=CF，設(shè)BE=x（x＞1），DF=y，通過勾股定理以及CE=CF即可得出x、y的方程，解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）猜想：BE=DF+EF，理由如下：
將△ADF繞著點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△ABF′，如圖1所示，
由四邊形ABCD為正方形可知點(diǎn)B、C、F′在一條直線上，
∵∠BAF′+∠EAF′+∠GAD=90°，∠BAF′=∠DAF，∠EAF=∠GAD+∠DAF=45°，
∴∠EAF′+∠GAD+∠DAF=90°，∠EAF′=∠EAF=45°．
在△EAF和△EAF′中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF′}\\{∠EAF=∠EAF′}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∴BE=BF′+EF′=DF+EF．
（2）∵△EGF∽△EFA，
∴∠EFG=∠EAF=45°，
∵∠ECF=90°，
∴CE=CF．
設(shè)BE=x（x＞1），DF=y，則EF=x-y，
在Rt△ECF中，CE=x-1，CF=1+y，EF=x-y，∠ECF=90°，
∴CE²+CF²=EF²，即（x-1）²+（1+y）²=（x-y）²，
∴y=$\frac{x-1}{x+1}$，
又∵CE=CF，即x-1=1+y，
∴x-1=1+$\frac{x-1}{x+1}$，化簡(jiǎn)得：x²-2x-1=0，
解之得：x=1+$\sqrt{2}$或x=1-$\sqrt{2}$（舍去）．
∴BE的長(zhǎng)為1+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．