Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，3），線段垂直于軸，垂足為，將線段繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B落在點處，直線與軸的交于點。

（1）試求出點D的坐標(biāo)；
（2）試求經(jīng)過、、三點的拋物線的表達(dá)式，并寫出其頂點E的坐標(biāo)；
（3）在（2）中所求拋物線的對稱軸上找點，使得以點、、為頂點的三角形與△ACD相似。

Answer 1

解：
（1）點C的坐標(biāo)為（，）
設(shè)直線的表達(dá)式為。
易得解得
所以直線的表達(dá)式為。
當(dāng)時，，。
所以點D的坐標(biāo)為（，）
（2）設(shè)經(jīng)過、、三點的拋物線的表達(dá)式為（）
易得
解得
因此，所求的拋物線的表達(dá)式為。
其頂點坐標(biāo)為（，）
（3）點F在的對稱軸（即直線）上，所以設(shè)點F的坐標(biāo)為（1，）。
由題意可得，，
∴,。
所以若以、、為頂點的三角形與△ACD相似，必有一個角的度數(shù)為，
由此可得點F必定在點E的上方，
，
所以當(dāng)或時，
以、、為頂點的三角形與△ACD相似
由點D（，）、C（，）、A（2，3）、（，）易得
，，。
∴或。
解得或。
故符合題意的點F有兩個，其坐標(biāo)為（1，5）或（1，6）