Question

8．如圖（1），拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4與x軸交于點A，B（點A在點B左側(cè)）、直線l經(jīng)過點B、C兩點
（1）求A、B、C三點坐標(biāo)及直線BC的函數(shù)表達式；
（2）若點F是線段OC上一動點，則在第一象限的拋物線上是否存在點E，使得△BCE≌△BCF，若存在，請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）如圖（2），在（2）的結(jié)論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以點P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0得到關(guān)于x的方程，然后求得方程的解可得到點A和點B的坐標(biāo)，令y=0求得對應(yīng)的y值，可求得點C的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點B和點C的坐標(biāo)代入求得k、b的值即可；
（2）理由：如圖1所示：過點C作CE∥x軸，交拋物線與點E，在CO上取點F使得CF=CE．先證明△CEB≌△CFB，然后將點E的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得對應(yīng)的橫坐標(biāo)的值即可
（3）先求得拋物線的頂點坐標(biāo)和拋物線的對稱軸，則點Q的坐標(biāo)為橫坐標(biāo)為1，點P的橫坐標(biāo)坐標(biāo)為x，然后依據(jù)平行四邊形的對角線互相平分和中點坐標(biāo)公式可求得點P的橫坐標(biāo)的值，然后將點P的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得點P的縱坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，解得x₁=-2，x₂=4，
所以點A坐標(biāo)為（-2，0），點B坐標(biāo)為（4，0）．
當(dāng)x=0時，y=4，
所以點C坐標(biāo)為（0，4）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得k=-1，b=4．
所以直線BC的解析式為y=-x+4．

（2）存在．
理由：如圖1所示：過點C作CE∥x軸，交拋物線與點E，在CO上取點F使得CF=CE．

∵CE∥x軸，
∴∠ECO=90°．
∵OC=OB，∠COB=90°，
∴∠OCB=45°．
∴∠ECB=45°．
∴∠FCB=∠ECB．
在△CEB和△CFB中$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠FCB=∠ECB}\\{CB=CB}\end{array}\right.$，
∴△CEB≌△CFB．
∵CE∥x軸，
∴點E的縱坐標(biāo)為4．
將y=4代入拋物線的解析式得：-$\frac{1}{2}$x²+x+4=4，解得：x=2或x=0，
∴E（2，4）．

（3）存在點P，使得以點P，Q，A，M為頂點的四邊形是平行四邊形．
理由：∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1．
又∵當(dāng)x=2時，y=-x+4=2，
∴點M的坐標(biāo)為（2，2）．
設(shè)點Q的橫坐標(biāo)1，點P的橫坐標(biāo)為x．
①當(dāng)AP為平行四邊形的對角線時．
由中點坐標(biāo)公式可得：$\frac{-2+x}{2}$=$\frac{1+2}{2}$，
解得：x=5，
將x=5代入拋物線的解析式得：y=-$\frac{1}{2}$×25+5+4=-$\frac{7}{2}$，
∴P的坐標(biāo)為（5，-$\frac{7}{2}$）．
②當(dāng)AQ為平行四邊形的對角線時．
由中點坐標(biāo)公式可得：$\frac{-2+1}{2}$=$\frac{2+x}{2}$，
解得：x=-3．
將x=-3代入得：y=$-\frac{1}{2}$×9-3+4=-$\frac{7}{2}$．
∴點P的坐標(biāo)為（-3，-$\frac{7}{2}$）．
③當(dāng)AM為平行四邊形的對角線時．
由中點坐標(biāo)公式可得：$\frac{-2+2}{2}$=$\frac{x+1}{2}$，
解得：x=-1．
將x=-1代入得：y=$-\frac{1}{2}$×1-1+4=$\frac{5}{2}$．
∴點P的坐標(biāo)為（-1，$\frac{5}{2}$）．
綜上所述，當(dāng)點P的坐標(biāo)為（5，-$\frac{7}{2}$）、（-3，-$\frac{7}{2}$）或（-1，$\frac{5}{2}$）時，以點P，Q，A，M為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，線段的中點坐標(biāo)公式，依據(jù)線段的中點坐標(biāo)公式求得點P的橫坐標(biāo)是解答此類問題的關(guān)鍵．