Question

在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=3，BC=6，AB=m（m＞3），ED⊥CD且交AB于點(diǎn)E，
（1）試判斷△DCE與△ADE，△DCE與△BCE是否相似？
（2）如果相似，請證明；如果不相似，請指出m為何值時，它們才能相似．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定,直角梯形

專題：

分析：（1）由題意可得：△DCE與△ADE相似；△DCE與△BCE不一定相似．
（2）首先延長CD，BA交于點(diǎn)F，易得DE垂直平分CF，即可得∠AED=∠CED，即可證得△DCE與△ADE相似；
由題意可得當(dāng)∠DCE=∠BCE時，△DCE∽△BCE，可得△BCE∽△ADE，則可得∠BCE=∠ADE=∠DCE=30°，繼而求得答案．

解答：解：（1）△DCE與△ADE相似；△DCE與△BCE不一定相似．

（2）①延長CD，BA交于點(diǎn)F，
∵AD∥BC，AD=3，BC=6，
∴△ADF∽△BCF，
∴DF：CF=AD：BC=1：2，
∴DF=CF，
∵ED⊥CD，
∴EF=EC，
∴∠AED=∠CED，
∵∠EAD=∠EDC=90°，
∴△DCE∽△ADE；
②∵DE與BC不平行，
∴∠DEC≠∠BCE，
∵∠B=∠EDC=90°，
∴當(dāng)∠DCE=∠BCE時，△DCE∽△BCE，
∴△BCE∽△ADE，
∴DE：EC=AD：BC=1：2，
∴∠DCE=30°，
∴∠BCE=∠ADE=∠DCE=30°，
∴AE=AD•tan30°=

3

，BE=BC•tan30°=2

3

，
∴m=AB=AE+BE=3

3

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．