Question

10．如圖，在?ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形AEDF是矩形；
（2）連接BD，若AB=AE=2，tan∠FAD=$\frac{2}{5}$，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥DC，DF⊥BA，易證得四邊形AEDF是平行四邊形，繼而證得四邊形AEDF是矩形；
（2）由四邊形AEDF是矩形，可得在Rt△AFD中，tan∠FAD=$\frac{FD}{AF}$=$\frac{2}{5}$，繼而求得BF的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AF∥ED，
∵AE⊥DC，DF⊥BA，
∴DF∥EA，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴四邊形AEDF是矩形；

（2）如圖，連接BD，
∵四邊形AEDF是矩形，
∴FD=AE=2，∠F=90°，
∵在Rt△AFD中，tan∠FAD=$\frac{FD}{AF}$=$\frac{2}{5}$，
∵AF=5，
∴AB=2，
∴BF=AB+AF=7，
在Rt△BFD中，BD=$\sqrt{B{F}^{2}+F{D}^{2}}$=$\sqrt{53}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意利用三角函數(shù)，求得AB的長(zhǎng)是關(guān)鍵．