Question

如圖，拋物線y=ax²-3ax+b經(jīng)過A（-1，0），C（3，2）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx-1（k≠0）將四邊形ABCD面積二等分，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法，把已知坐標(biāo)代入解析式求出拋物線解析式．
（2）作輔助線過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，得出四邊形ABCD是等腰梯形，由矩形的中心對稱性得出過P點(diǎn)且與CD相交的任一直線將梯形ABCD的面積平分．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-3ax+b過A（-1，0）、C（3，2），
∴0=a+3a+b，2=9a-9a+b．
解得a=-，b=2，
∴拋物線解析式y(tǒng)=-x²+x+2．

（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，
由y=-x²+x+2得B（4，0）、D（0，2）．
∴CD∥AB．
由拋物線的對稱性得四邊形ABCD是等腰梯形，
∴S_△AOD=S_△BHC．
設(shè)矩形ODCH的對稱中心為P，則P（，1）．
由矩形的中心對稱性知：過P點(diǎn)任一直線將它的面積平分．
∴過P點(diǎn)且與CD相交的任一直線將梯形ABCD的面積平分．
當(dāng)直線y=kx-1經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，
得1=k-1
∴k=．
∴當(dāng)k=時(shí)，直線y=x-1將四邊形ABCD面積二等分．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形，梯形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合以及中心對稱的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．