Question

17．如圖1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠EAD，AB=AC，AD=AE，連接CD、AE交于點(diǎn)F．
（1）求證：∠DCE=∠BAC；
（2）當(dāng)∠BAC=∠EAD=30°，AD⊥AB時(shí)（如圖2），延長(zhǎng)DC、AB交于點(diǎn)G，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中除△ABC、△ADE以外的等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）如圖1，先證明△ACD≌△ABE，得∠ACD=∠ABC，根據(jù)三角形內(nèi)角和與平角定義得出結(jié)論；
（2）如圖2，圖形中有四個(gè)等腰三角形：分別是①△ACF是等腰三角形，②△ADG是等腰直角三角形，③△DEF是等腰直角三角形；④△ECD是等腰三角形；根據(jù)已知角的度數(shù)依次計(jì)算各角的度數(shù)，根據(jù)兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ACD≌△ABE，
∴∠ACD=∠ABC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∠ECD+∠ACD+∠ACB=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠BAC+2∠ACB=180°，
∠ECD+2∠ACB=180°，
∴∠BAC=∠ECD；
（2）如圖2，
①∵∠BAC=∠EAD=30°，
∴∠ABC=∠ACB=∠AED=∠ADE=75°，
由（1）得：∠ACD=∠ABC=75°，
∠DCE=∠BAC=30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠CAE=30°，
∴∠AFC=180°-30°-75°=75°，
∴∠ACF=∠AFC，
∴△ACF是等腰三角形，
②∵∠BCG=∠DCE=30°，∠ABC=75°，
∴∠G=45°，
在Rt△AGD中，∠ADG=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
③∠EDF=75°-45°=30°，
∴∠DEF=∠DFE=75°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
④∵∠ECD=∠EDC=30°，
∴△ECD是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 首先掌握等腰三角形的判定方法：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，本題借助于證明兩三角形全等得出對(duì)應(yīng)角相等，并結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理求角的度數(shù)，正確做出判斷．