Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）請用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖，保留作圖痕跡：
①作∠ACB的平分線，交斜邊AB于點(diǎn)D；
②過點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為點(diǎn)E．
（2）在（1）作出的圖形中，若CB=4，CA=6，則DE=$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 （1）以C為圓心，任意長為半徑畫弧，交BC，AC兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)的線段的一半為半徑畫弧，過這兩弧的交點(diǎn)與C在直線交AB于D即可，根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法可作出垂線即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)推出∠ECD=∠EDC，進(jìn)而證得DE=CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可推得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖所示；
（2）解：∵DC是∠ACB的平分線，
∴∠BCD=∠ACD，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，
∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$，
設(shè)DE=CE=x，則AE=6-x，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{6-x}{6}$，
解得：x=$\frac{12}{5}$，
即DE=$\frac{12}{5}$，
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了角的平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，基本作圖，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．