Question

如圖，P是⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，若，PB=1．求：
（1）⊙O的半徑；
（2）CD的長(zhǎng)；
（3）圖中陰影部分的面積．

Answer 1

解：（1）連接OC，
∵PC切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥PC，
設(shè)⊙O的半徑為x，
∵，PB=1，
則OP=x+1，
在Rt△POC中，OC²+PC²=OP²，
∴x²+（）²=（x+1）²，
解得：x=1，
即⊙O的半徑為1；

（2）∵弦CD⊥AB，
∴CE=CD，
∵在Rt△POC中，sin∠POC==，
∴在Rt△OCE中，CE=OC•sin∠COE=，
∴CD=2CE=；

（3）∵sin∠POC=，
∴∠POC=60°，
∴S_陰影=S_Rt△POC-S_扇形BOC=PC•OC-=-．
分析：（1）首先連接OC，由PC切⊙O于點(diǎn)C，可得OC⊥PC，然后設(shè)⊙O的半徑為x，由勾股定理可得方程：x²+（）²=（x+1）²，解此方程即可求得答案；
（2）由弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理的即可求得CD的長(zhǎng)；
（3）由sin∠POC=，可得∠POC=60°，則可由S_陰影=S_Rt△POC-S_扇形BOC求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理以及特殊角的三角函數(shù)問(wèn)題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．