Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A．點(diǎn)B同時出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動，已知點(diǎn)M的速度為2cm/s，點(diǎn)N的速度為3cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時，M、N同時停止運(yùn)動．

（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動　 　秒后，△AMN是等邊三角形？

（2）點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，運(yùn)動　 　秒后得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN？

（3）M、N同時運(yùn)動幾秒后，△AMN是直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)M、N運(yùn)動3秒或秒或10秒或9秒后，△AMN為直角三角形．

【解析】

（1）當(dāng)AM＝AN時，△MNA是等邊三角形．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，構(gòu)建方程即可解決問題；

（2）點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，滿足CM＝BN時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN．構(gòu)建方程即可解決問題；

（3）據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四種情況討論即可．

（1）當(dāng)AM＝AN時，△MNA是等邊三角形，設(shè)運(yùn)動時間為t秒

則有：2t＝12﹣3t

解得t＝

故點(diǎn)M、N運(yùn)動秒后，△AMN是等邊三角形；

（2）點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，滿足CM＝BN時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN

則有：2t﹣12＝36﹣3t

解得t＝

故運(yùn)動秒后得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN；

（3）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒后，可得到直角三角形△AMN

①當(dāng)M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°時，如圖

∵∠A＝60°

∴∠AMN＝30°

∴AM＝2AN

則有2t＝2（12﹣3t）

∴t＝3；

②當(dāng)M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°時，如圖

∵∠A＝60°

∴∠ANM＝30°

∴2AM＝AN

∴4t＝12﹣3t

∴t＝；

③當(dāng)M、N都在BC上，∠ANM＝90°時，如圖

CN＝3t﹣24＝6

解得t＝10；

④當(dāng)M、N都在BC上，∠AMN＝90°時，則N與B重合，M正好處于BC的中點(diǎn)，如圖

此時2t＝12+6

解得t＝9；

綜上所述，點(diǎn)M、N運(yùn)動3秒或秒或10秒或9秒后，△AMN為直角三角形．