Question

13．已知線段MN=8，C是線段MN上一動點(diǎn)，在MN的同側(cè)分別作等邊△CMD和等邊△CNE．
（1）如圖①，連接DN與EM，兩條線段相交于點(diǎn)H，求證ME=DN，并求∠DHM的度數(shù)；
（2）如圖②，過點(diǎn)D、E分別作線段MN的垂線，垂足分別為F、G，問：在點(diǎn)C運(yùn)動過程中，DF+EG的長度是否為定值，如果是，請求出這個定值，如果不是請說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)C由點(diǎn)M移到點(diǎn)N時，點(diǎn)H移到的路徑長度為$\frac{16\sqrt{3}}{9}$π（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CM=CD，EC=NC，∠DCM=∠ECN=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ME=DN，∠CME=∠CDN，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠DHM=∠DCM=60°；
（2）設(shè)MF=FC=x，則CG=NG=4-x，得到DF=$\sqrt{3}$x，EG=$\sqrt{3}$（4-x），即可得到結(jié)論；
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)C由點(diǎn)M移到點(diǎn)N時，點(diǎn)H移動的路徑即為$\widehat{MHN}$，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到∠MHN=120°，根據(jù)圓周角定義得到∠MON=120°，解直角三角形得到OM=ON=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△CMD與△CNE是等邊三角形，
∴CM=CD，EC=NC，∠DCM=∠ECN=60°，
∴∠DCN=∠MCE=120°，
在△MCE與△DCN中，$\left\{\begin{array}{l}{MC=DC}\\{∠MCE=∠DCN}\\{EC=NC}\end{array}\right.$，
∴△MCE≌△DCN，
∴ME=DN，∠CME=∠CDN，
∵∠1=∠2，
∴180°-∠CME-∠1=180°-∠CDN-∠2，
∴∠DHM=∠DCM=60°；
（2）解：DF+EG為定值，
理由：設(shè)MF=FC=x，則CG=NG=4-x，
∴DF=$\sqrt{3}$x，EG=$\sqrt{3}$（4-x），
∴DF+GE=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$（4-x）=4$\sqrt{3}$；
（3）解：如圖③，當(dāng)點(diǎn)C由點(diǎn)M移到點(diǎn)N時，點(diǎn)H移到的路徑即為$\widehat{MHN}$，
∵∠MHD=60°，
∴∠MHN=120°，
∴∠MPN=60°，
∴∠MON=120°，
∵M(jìn)N=8，
∴OM=ON=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴點(diǎn)H移到的路徑長度=$\frac{120π×\frac{8\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{16\sqrt{3}π}{9}$，
故答案為：$\frac{16\sqrt{3}π}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．