Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC，AB于點E，F(xiàn)．

（1）若∠B=30°，求證：以A，O，D，E為頂點的四邊形是菱形；

（2）填空：若AC=6，AB=10，連接AD，則⊙O的半徑為　　，AD的長為　 　．

Answer 1

【答案】(1) 見解析；（2）

【解析】

(1) 先通過證明△AOE為等邊三角形, 得出AE=OD, 再根據(jù)“同位角相等, 兩直線平行” 證明AE//OD, 從而證得四邊形AODE是平行四邊形, 再根據(jù) “一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形” 即可得證．

(2) 利用在Rt△OBD中，sin∠B==可得出半徑長度，在Rt△ＯＤＢ中BD=，可求得ＢＤ的長，由CD=CB﹣BD可得ＣＤ的長，在ＲＴ△ＡＣＤ中，AD=，即可求出AD長度．

解：（1）證明：

連接OE、ED、OD，

在Rt△ABC中，∵∠B=30°，

∴∠A=60°，

∵OA=OE，∴△AEO是等邊三角形，

∴AE=OE=AO

∵OD=OA，

∴AE=OD

∵BC是圓O的切線，OD是半徑，

∴∠ODB=90°，又∵∠C=90°

∴AC∥OD，又∵AE=OD

∴四邊形AODE是平行四邊形，

∵OD=OA

∴四邊形AODE是菱形．

（2）

在Rt△ABC中，∵AC=6，AB=10，

∴sin∠B==，BC=8

∵BC是圓O的切線，OD是半徑，

∴∠ODB=90°，

在Rt△OBD中，sin∠B==，

∴OB=OD

∵AO+OB=AB=10，

∴OD+OD=10

∴OD=

∴OB=OD=

∴BD=

=5

∴CD=CB﹣BD=3

∴AD=

=

=3．