Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

   （1）求證：PC是⊙O的切線；

   （2）求證：BC=AB；

   （3）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB=4，求MN·MC的值.

                                                                                                                                                            

Answer 1

解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO    

   ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB            

   ∴∠A=∠ACO=∠PCB     

           ∵AB是⊙O的直徑

   ∴∠ACO+∠OCB=90°      

          ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP    

∵OC是⊙O的半徑                     

  ∴PC是⊙O的切線        

        （2）∵PC=AC  ∴∠A=∠P

         ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P   

         ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB

 ∴∠CBO=∠COB                

         ∴BC=OC

 ∴BC=AB           

         (3)連接MA,MB                          

         ∵點M是弧AB的中點

  ∴弧AM=弧BM  ∴∠ACM=∠BCM         

∵∠ACM=∠ABM  ∴∠BCM=∠ABM         

         ∵∠BMC=∠BMN

         ∴△MBN∽△MCB                  

 ∴  

∴BM²=MC·MN       

         ∵AB是⊙O的直徑，弧AM=弧BM

         ∴∠AMB=90°,AM=BM

   ∵AB=4  ∴BM=   

 ∴MC·MN=BM²=8