Question

【題目】拋物線(xiàn)y=﹣x2+4ax+b（a＞0）與x軸相交于O、A兩點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P（2，2a）作直線(xiàn)PM⊥x軸于點(diǎn)M，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C（其中B、C不重合），連接AP交y軸于點(diǎn)N，連接BC和PC．

（1）a= 時(shí)，求拋物線(xiàn)的解析式和BC的長(zhǎng)；
（2）如圖a＞1時(shí)，若AP⊥PC，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線(xiàn)y=﹣x2+4ax+b（a＞0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，

∴b=0，

∵a= ，

∴拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+6x，

∵x=2時(shí)，y=8，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)（2，8），

∵對(duì)稱(chēng)軸x=3，B、C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（4，8），

∴BC=2．

（2）

解：

∵AP⊥PC，

∴∠APC=90°，

∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°，

∴∠CPB=∠PAM，

∵∠PBC=∠PMA=90°，

∴△PCB∽△APM，

∴ ，

∴ ，

整理得a2﹣4a+2=0，解得a=2± ，

∵a＞0，

∴a=2+ ．

【解析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)b=0，把a(bǔ)= 、b=0代入拋物線(xiàn)解析式，即可求出拋物線(xiàn)解析式，再求出B、C坐標(biāo)，即可求出BC長(zhǎng)．（2）利用△PCB∽△APM，得 = ，列出方程即可解決問(wèn)題．本題考查二次函數(shù)性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形性質(zhì)列出方程解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考�？碱}型．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減�。魂P(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形；如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)；兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段或延長(zhǎng)線(xiàn)相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上．