Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P為BC邊上一點(diǎn)（不與B，C重合），過點(diǎn)P作∠APE=∠B，PE交CD于E．
（1）求證：△APB∽△PEC；
（2）若CE=3，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
∵∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△APB∽△PEC；

（2）解：過點(diǎn)A作AF∥CD交BC于點(diǎn)F，
則四邊形ADCF是平行四邊形，△ABF為等邊三角形，
∴CF=AD=3，AB=BF=7-3=4，
∵△APB∽△PEC，
∴，
設(shè)BP=x，則PC=7-x，
∵EC=3，AB=4，
∴，
解得：x₁=3，x₂=4，
經(jīng)檢驗(yàn)：x₁=3，x₂=4是原分式方程的解，
∴BP的長(zhǎng)為：3或4．
分析：（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可證得∠BAP=∠EPC，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可證得：△APB∽△PEC；
（2）首先過點(diǎn)A作AF∥CD交BC于點(diǎn)F，則四邊形ADCF是平行四邊形，△ABF為等邊三角形，又由△APB∽△PEC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．