Question

已知點(diǎn)A，B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C，D是某個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點(diǎn)依次排列）為正方形時(shí)，我們稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形．例如：在圖1中，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)“伴侶正方形”．
（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸、點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí)，求一次函數(shù)y=x+1的圖象的“伴侶正方形”的邊長(zhǎng)．
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)，則一次函數(shù)y=x+1的圖象的“伴侶正方形”的邊長(zhǎng)為

 

（2）如圖3，若某函數(shù)是反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0），它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD，點(diǎn)D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）①由ABCD為正方形，得到AB與CD平行，根據(jù)直線y=x+1的斜率為1，得到∠BAO=∠ABO=45°，而∠BAC=45°，得到C在x軸上，同理得到D在y軸上，即C、D分別為直線y=x+1與x軸，y軸的交點(diǎn)，確定出C與D坐標(biāo)，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)，即為所求的“伴侶正方形”的邊長(zhǎng)；
②同上得到OA=OB，設(shè)直線y=x+1與x軸交于E點(diǎn)，求出E坐標(biāo)，根據(jù)題意得到三角形ADE為等腰直角三角形，過(guò)D作DH⊥x軸于H點(diǎn)，則有△DHA≌△AOB，得到DH=AH=OA=OB，由OA+AH+HE=OE=1，求出OA與OB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)，即為所求“伴侶正方形”的邊長(zhǎng)；
（2）過(guò)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)C作CN⊥y軸于點(diǎn)N，由ABCD為正方形，得到△CNB≌△BOA≌△AMD，進(jìn)而由D坐標(biāo)得到BN=OA=DM=m，CN=BO=AM=OM-OA=2-m，ON=OB+BN=2，表示出C坐標(biāo)，根據(jù)C、D都在反比例函數(shù)圖象上，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求出m的值即可．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥CD，
∵C，D在直線y=x+1上，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∵ABCD為正方形，
∴∠BAC=45°，
∴點(diǎn)C在x軸上，
同理D在y軸上，
∴C、D分別為直線y=x+1與x軸，y軸的交點(diǎn)，
∴C（-1，0），D（0，1），CD=

2

，
則所求的“伴侶正方形”的邊長(zhǎng)為

2

；
②同上，可得OA=OB，設(shè)直線y=x+1與x軸交于點(diǎn)E，則E（-1，0），且△ADE為等腰直角三角形，
過(guò)D作DH⊥x軸于H點(diǎn)，則有△DHA≌△AOB，
∴DH=AH=OB=OA，
∵OA+AH+EH=OE=1，
∴OA=OB=

1

3

，
∴AB=

2

OA=

2

3

，
則所求的“伴侶正方形”邊長(zhǎng)為

2

3

；
故答案為：

2

3

；
（2）過(guò)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)C作CN⊥y軸于點(diǎn)N，
∵ABCD為正方形，
∴△CNB≌△BOA≌△AMD，
∵D（2，m），
∴BN=OA=DM=m，CN=BO=AM=OM-OA=2-m，ON=OB+BN=2，
∴C（2-m，2），
∵C（2-m，2），D（2，m）均在反比例函數(shù)圖象上，
∴2（2-m）=2m，
解得：m=1．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，弄清“伴侶正方形”的意義是解本題的關(guān)鍵．