Question

20．如圖，C為△ABE的邊BE上，且AB=AC，AB的垂直平分線交AC于D，且AD=BC，CE=CD．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）求∠CAE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，根據(jù)題意得到∠ABC=∠ACB，設(shè)∠BAC=x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程，解方程得到答案；
（2）連接DE，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠CDE=∠CED=$\frac{1}{2}$∠ACB=36°，證明DA=DE，得到答案．

解答 解：（1）∵AB的垂直平分線交AC于D，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∵AD=BC，DA=DB，
∴BC=DB，
∴∠BDC=∠BCD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
設(shè)∠BAC=x，則∠ABC=∠ACB=2x，
則x+2x+2x=180°，
解得，x=36°，
即∠BAC為36°，
（2）連接DE，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED=$\frac{1}{2}$∠ACB=36°，
∴DB=DE，又DA=DB，
∴DA=DE，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CDE=18°．

點(diǎn)評 本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，正確作出輔助線、掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．