Question

16．如圖1，在矩形ABCD中，BC=4cm．點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P沿CB向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿CD向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，順次連接A，B，P，Q，A得到的封閉圖形面積為S cm²．

（1）當(dāng)AB=m cm時(shí)，S與t的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式及m的值，并直接寫出t的取值范圍；
（2）當(dāng)AB=6cm時(shí)，探究：此時(shí)S與t的函數(shù)圖象可以由（1）中函數(shù)圖象怎樣變換得到？

Answer 1

分析 （1）設(shè)S與t的函數(shù)關(guān)系式為頂點(diǎn)式：S=a（t-1）²+5，代入點(diǎn)E（2，4）求出a=-1，得出S與t的函數(shù)關(guān)系式，得出t的取值范圍，由△ABC的面積即可求出m的值（2）由圖1可知：S=矩形ABCD的面積-△ADQ的面積-△CPQ的面積，即可得出函數(shù)關(guān)系式，即可得出所求．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5），
∴可設(shè)S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=a（t-1）²+5，
代入點(diǎn)E（2，4）得：a（2-1）²+5=4，
解得：a=-1．
∴S=-（t-1）²+5，即S=-t²+2t+4；
t的取值范圍為0≤t≤2．  
由關(guān)系式得：F（0，4）．
∴當(dāng)t=0時(shí)，S=4，即△ABC的面積為4．
∴$\frac{1}{2}$AB•BC=4．
∴m=2．  
（2）當(dāng)AB=6cm時(shí)，
由圖1可知：S=矩形ABCD的面積-△ADQ的面積-△CPQ的面積=4×6-$\frac{1}{2}$×4×（6-t）-$\frac{1}{2}$×2t×t=-t²+2t+12，即S=-（t-1）²+13，
t的取值范圍為0≤t≤2．
∴S與t的函數(shù)圖象可以由（1）中函數(shù)圖象向上平移8個(gè)單位得到．

點(diǎn)評 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、矩形的性質(zhì)、函數(shù)解析式的求法以及三角形面積的計(jì)算；求出函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．