Question

如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，AB交OP于D．
（1）證明：AD⊥OP；
（2）若AC=10，sinC=，求PA．

Answer 1

（1）證明：∵PA、PB為圓O的切線，
∴PO平分∠APB，PA=PB，
∴AD⊥OP；
（2）解：∵AC為直徑，
∴AB⊥BC，
∵OP⊥BC，
∴OP∥BC，
∴∠AOP=∠C，
∴sin∠AOP=sinC=，
∵PA為圓O的切線，
∴OA⊥PA，
在Rt△AOP中，設(shè)OA=5=3x，則OP=5x，
則PA=4x=．
分析：（1）由PA與PB為圓O的切線，利用切線長定理得到PO為角平分線，利用三線合一即可得證；
（2）由AC為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到AB垂直于BC，再由OP垂直于AB，得到OP與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠AOP=∠C，進(jìn)而得到sinC=sin∠AOP，由AC求出OA的長，在直角三角形AOP中，設(shè)OA=3x，得到OP=5x，AP=4x，求出x的值，即可確定出PA的長．
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．