Question

正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G（如圖）。

（1）如果M為CD邊的中點(diǎn)，計(jì)算DE：EM；
（2）如果M為CD邊上的任意一點(diǎn)，設(shè)AB=2a，問△CMG的周長是否有與點(diǎn)M的位置關(guān)系？若有關(guān)，請把△CMG的周長用含DM的長x的代數(shù)式表示。若無關(guān)，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)正方形邊長為a，DE為x，則DM=，EM=EA=a-x
在Rt△DEM中，∠D=90°
∴DE²+DM²=EM²

x=
EM=
DE：EM=3：5；
（2）△CMG的周長與點(diǎn)M的位置無關(guān)
證明：設(shè)CM=x，DE=y，則DM=2a-x，EM=2a-y
∵∠EMG=90°
∴∠DME+∠CMG=90度
∵∠DME+∠DEM=90°
∴∠DEM=∠CMG
又∵∠D=∠C=90°
∴△DEM∽△CMG


△CMG的周長為CM+CG+MG=
在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²即（2a-x）²+y²=（2a-y）²
整理得4ax-x²=4ay
∴CM+MG+CG=
所以△CMG的周長為4a，與點(diǎn)M的位置無關(guān)。