Question

（2010•黔東南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（-1，0），B（0，2）拋物線y=ax²+ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線（對(duì)稱軸的右側(cè)）上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使四邊形ABPQ為正方形？若存在，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了Rt△AOB≌Rt△CDA，因此OB=AD=2，OA=CD=1，據(jù)此可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）可以AB為邊在拋物線的右側(cè)作正方形AQPB，過(guò)P作PE⊥y軸，過(guò)Q作QG垂直x軸于G，不難得出三角形ABO和三角形BPE和三角形QAG都全等，據(jù)此可求出P，Q的坐標(biāo)，然后將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可判斷出P、Q是否在拋物線上．

解答：解：（1）由Rt△AOB≌Rt△CDA，得OD=2+1=3，CD=1
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，1），
∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴1=a（-3）²+a（-3）-2，
∴a=

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

（2）在拋物線（對(duì)稱軸的右側(cè)）上存在點(diǎn)P、Q，使四邊形ABPQ是正方形．
以AB為邊在AB的右側(cè)作正方形ABPQ，過(guò)P作PE⊥OB于E，QG⊥x軸于G，可證△PBE≌△AQG≌△BAO，

∴PE=AG=BO=2，BE=QG=AO=1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）．
由（1）拋物線y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=1；當(dāng)x=1時(shí)，y=-1．
∴P、Q在拋物線上．
故在拋物線（對(duì)稱軸的右側(cè)）上存在點(diǎn)P（2，1）、Q（1，-1），使四邊形ABPQ是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、正方形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．綜合性強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，難度較大．