Question

在△ABC中，AB=AC，點P為△ABC所在平面內一點，過點P分別作PE∥AC交AB于點E，PF∥AB交BC于點D，交AC于點F．
（1）如圖1，若點P在BC邊上，此時PD=0，易證PD，PE，PF與AB滿足的數量關系是PD+PE+PF=AB；當點P在△ABC內時，先在圖2中作出相應的圖形，并寫出PD，PE，PF與AB滿足的數量關系，然后證明你的結論；
（2）如圖3，當點P在△ABC外時，先在圖3中作出相應的圖形，然后寫出PD，PE，PF與AB滿足的數量關系．（不用說明理由）

Answer 1

解：（1）結論是PD+PE+PF=AB，
證明：過點P作MN∥BC分別交AB、AC于M、N兩點，：
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四邊形PEAF是平行四邊形，
∴PF=AE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵MN∥BC，
∴∠ANM=∠C=∠B=∠AMN，
∵PE∥AC，
∴∠EPM=∠FNP，
∴∠AMN=∠FPN，
∴∠EPM=∠EMP，
∴PE=ME，
∵AE+ME=AM，
∴PE+PF=AM，
∵MN∥CB，DF∥AB，
∴四邊形BDPM是平行四邊形，
∴MB=PD，
∴PD+PE+PF=AM+MB=AB．

（2）如圖3，利用（1）中證明方法，即可得出：結論PE+PF-PD=AB．
分析：（1）過點P作MN∥BC分別交AB、AC于M、N兩點，證平行四邊形PEAF，推出PE=AF，PF=AE，根據等腰三角形性質推出∠B=∠C=∠EPM，推出PE=ME，再推出MB=PD即可；
（2）過點P作MN∥BC分別交AB、AC于M、N兩點，推出PE+PF=AM，再推出MB=PD即可．
點評：本題綜合考查了平行四邊形的性質和判定和等腰三角形的性質等知識點，關鍵是熟練地運用性質進行推理和證明，題目含有一定的規(guī)律性，難度不大，但題型較好．