Question

9．如圖，東站樞紐建設(shè)要新建一條從M地到N地的公路，測得N點(diǎn)位于M點(diǎn)的南偏東30°，A點(diǎn)位于M點(diǎn)的南偏東60°，以A點(diǎn)為中心，半徑為500米的圓形區(qū)域?yàn)槲奈锉Ｗo(hù)區(qū)，又在B點(diǎn)測得BA的方向?yàn)槟掀珫|75°，量得MB=400米，請計(jì)算后回答公路是否會穿越文物保護(hù)區(qū)（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{2}$≈1.414）

Answer 1

分析 過點(diǎn)A作AC⊥BN于C，利用三角函數(shù)求出AC的長，與500米進(jìn)行比較就可以求解．

解答 解：過A作AC⊥BN于C，
由題意得∠CMA=30°，∠CBA=75°-30°=45°，MB=400m，
設(shè)AC=xm，
在Rt△AMC中，$\frac{AC}{MC}=tan{30^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$MC=\sqrt{3}x$，
所以$BC=MC-MB=\sqrt{3}x-400$，
在Rt△ABC中，$\frac{AC}{BC}=1$，
∴$\sqrt{3}x-400=x$，
∴$x=\frac{400}{{\sqrt{3}-1}}=200（\sqrt{3}+1）≈200（1.732+1）=546.4（m）$，
因?yàn)锳C=546.4m＞500m，
所以公路不會穿過文物保護(hù)區(qū)．

點(diǎn)評 考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．