Question

已知拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)P（2，-1），直線x=m（m＞3）交x軸于點(diǎn)D，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)（如圖10）．
（1）①求得拋物線的函數(shù)解析式為______；
②A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是A（______），B（______）；
③該拋物線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的拋物線的函數(shù)解析式是______；
④將已知拋物線平移，使頂點(diǎn)落在原點(diǎn)，則平移后得到的新拋物線的函數(shù)解析式是______．
（2）若直線x=m（m＞3）上有一點(diǎn)E（E在第一象限），使得以B、E、D為頂點(diǎn)的三角形和以A、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求E點(diǎn)的坐標(biāo)（用m的代數(shù)式表示）
（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，若存在，求出m的值及平行四邊形ABEF的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）①將點(diǎn)（0，3）代入可得c=3，
又∵頂點(diǎn)P（2，-1），
∴可得出-=2，=-1，
解得：a=1，b=-4，
即可得拋物線的函數(shù)解析式為y=x²-4x+3；
②由①得：y=x²-4x+3=（x-1）（x+3），
故可得出A（1，0），B（3，0）；
③設(shè)點(diǎn)（x，y）在對(duì)稱后的函數(shù)圖象上，則（-x，-y）在原函數(shù)圖象上，
故可得：-y=x²+4x+3，y=-x²-4x-3．
即關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的拋物線解析式為：y=-x²-4x-3；
④平移后頂點(diǎn)落在原點(diǎn)的拋物線為y=x²．

（2）①當(dāng)△EDB∽△AOC時(shí)，，
則ED=，得E₁[m，]；
②當(dāng)△EDB∽△COA時(shí)，=，即=，
則ED=3（m-3），得E₂（m，3m-9）．
因?yàn)椤螮DB=∠AOC=90°，所以只有這兩種情況．

（3）在（2）的條件下，假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)F，使四邊形ABEF為平行四邊形，
則EF=AB=2，點(diǎn)F橫坐標(biāo)m-2，縱坐標(biāo)等于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，
當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為：E₁（m，）時(shí)，F(xiàn)₁（m-2，）在拋物線上，
有，
∴m=或3（舍去），
這時(shí)F1（，），．
②當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為：E₂（m，3m-9）時(shí)，F(xiàn)₂（m-2，3m-9）在拋物線上，
則3m-9=（m-2）²-4（m-2）+3?m²-11m+24=0，
解得：m=8或3（舍去），這時(shí)F₂（6，15），S_{平行四邊形ABEF}=2×15=30．
綜上，存在m₁=，S_{平行四邊形}=；存在m₂=8，S_{平行四邊形ABEF}=30．
分析：（1）①根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）可得出a、b、c的值，繼而可得出解析式．②根據(jù)函數(shù)解析式可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．③設(shè)點(diǎn)（x，y）在對(duì)稱后的函數(shù)圖象上，則（-x，-y）在原函數(shù)圖象上，代入可得出對(duì)稱后的函數(shù)關(guān)系式．④關(guān)于y軸對(duì)稱的二次函數(shù)解析式為y=ax²，結(jié)合①可得出答案．
（2）分別討論，①當(dāng)△EDB∽△AOC時(shí)，②當(dāng)△EDB∽△COA時(shí)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出ED的長，繼而可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）要使四邊形ABEF為平行四邊形，則點(diǎn)F橫坐標(biāo)m-2，縱坐標(biāo)等于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入可得出m的值，繼而也可求出平行四邊形的面積．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的知識(shí)，平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)，難度較大，注意細(xì)心求解．