Question

1．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）當△ABC繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；
（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點H．
①求證：BD⊥CF；
②當AB=2，AD=3$\sqrt{2}$時，求線段DH的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉變換的性質和全等三角形的判定定理證明△CAF≌△BAD，證明結論；
（2）①根據(jù)全等三角形的性質、垂直的定義證明即可；
②連接DF，延長AB交DF于M，根據(jù)題意和等腰直角三角形的性質求出DM、BM的長，根據(jù)勾股定理求出BD的長，根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，計算即可得到答案．

解答 解：（1）BD=CF．
理由如下：由題意得，∠CAF=∠BAD=θ，
在△CAF和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=BA}\\{∠CAF=∠BAD}\\{FA=DA}\end{array}\right.$，
∴△CAF≌△BAD，
∴BD=CF；
（2）①由（1）得△CAF≌△BAD，
∴∠CFA=∠BDA，
∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NDA=90°，
∴∠CFA+∠FNH=90°，
∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；
②連接DF，延長AB交DF于M，
∵四邊形ADEF是正方形，AD=3$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AM=DM=3，BM=AM-AB=1，
∵△ABC繞點A逆時針旋轉45°，
∴∠BAD=45°，
∴AM⊥DF，
∴DB=$\sqrt{D{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵∠MAD=∠MDA=45°，
∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，
∴△DMB∽△DHF，
∴$\frac{DM}{DH}$=$\frac{DB}{DF}$，即$\frac{3}{DH}$=$\frac{\sqrt{10}}{6}$，
解得，DH=$\frac{9\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查的是正方形的性質、等腰直角三角形的性質、旋轉變換的性質以及相似三角形的判定和性質，掌握旋轉角的定義和旋轉變換的性質、正確作出輔助線是解題的關鍵．