Question

在△ABC中，∠B=35°，AD是BC邊上的高，并且AD²=BD•DC，則∠BCA的度數為    ．

Answer 1

【答案】分析：分兩種情況考慮：當∠BCA為銳角和鈍角，將已知的積的恒等式化為比例式，再根據夾角為直角相等，利用兩邊對應成比例且夾角的相等的兩三角形相似可得出△ADB∽△CDA，由相似三角形的對應角相等，利用直角三角形的兩銳角互余及外角性質分別求出兩種情況下∠BCA的度數即可．
解答：解：當∠BCA為銳角時，如圖1所示，
∵AD²=BD•DC，
∴=，
又AD⊥BC，
∴∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ADB∽△CDA，又∠B=35°，
∴∠CAD=∠B=35°，∠BCA=∠BAD，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=35°，
∴∠BAD=55°，
則∠BCA=∠BAD=55°；
當∠BCA為鈍角時，如圖2所示，
同理可得△ADB∽△CDA，又∠B=35°，
可得∠CAD=∠B=35°，
則∠BCA=∠CDA+∠CAD=125°，
綜上，∠BCA的度數為55°或125°．
故答案為：55°或125°
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，直角三角形的性質，以及外角的性質，利用了分類討論的思想，其中相似三角形的判定方法有：兩對對應角相等的兩三角形相似；三邊對應成比例的兩三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似．