Question

如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點E，∠B=22.5°，AB的垂直平分線DN交BC于點D，交AB于點N，DF⊥AC于點F，交AE于點M，求證：EM=EC．

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=BD，由三角形外角的性質(zhì)得出∠ADE的度數(shù)，判斷出△ADE的形狀，再由ASAA定理得出△DEM≌△AEC，由此可得出結(jié)論．

解答：證明：AB的垂直平分線DN交BC于點D，
∴BD=AD，
∴∠B=∠BAD=22.5，
∴∠ADE=2∠B=45°．
∵AE⊥BC于E，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE．
∵DF⊥AC于F交AE于M，
∴∠DEM=∠AEC=90°，
∵∠EDM+∠C=∠CAE+∠C=90°
∴∠EDM=∠EAC
在△DEM與△AEC中，
∵

∠EDM=∠EAC AE=DE ∠AED=∠AEC

，
∴△DEM≌△AEC（ASA），
∴EM=EC．

點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．