Question

18．解方程：$\frac{1-x}{x^2}-\frac{{2{x^2}}}{1-x}=1$．

Answer 1

分析 本題考查用換元法解分式方程的能力．可根據(jù)方程特點(diǎn)設(shè)y=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，將原方程可化簡為關(guān)于y的方程，然后化成整式方程，解一元二次方程求y，再求x．

解答 解：設(shè)y=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，則原方程可化為：y-$\frac{2}{y}$=1；
兩邊同乘以y整理得y²-y-2=0，
解得y₁=2，y₂=-1．
當(dāng)y₁=2時(shí)，$\frac{1-x}{{x}^{2}}$=2，化為；2x²+x-1=0，解得x₁=-1，x₂=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)y₂=-1時(shí)，$\frac{1-x}{{x}^{2}}$=-1，化為；x²-x+1=0，∵△＜0，∴此方程無實(shí)數(shù)根；
經(jīng)檢驗(yàn)x₁=-1，x₂=$\frac{1}{2}$都是原方程的根
∴原方程的根是x₁=-1，x₂=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據(jù)方程特點(diǎn)設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問題簡單化，注意求出方程解后要驗(yàn)根．