Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC，點(diǎn)D在弧BC上運(yùn)動，過點(diǎn)D作DE//BC，DE交AB的延長線于點(diǎn)E，連結(jié)AD、BD。

（1）求證：∠ADB=∠E；
（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到什么位置時(shí)，DE是⊙O的切線？請說明理由；
（3）當(dāng)AB=5，BC=6時(shí)，求⊙O的半徑。

Answer 1

解：（1）在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C ∵DE∥BC， ∴∠ABC=∠E， ∴∠E=∠C 又∵∠ADB=∠C， ∴∠ADB=∠E；
（2）當(dāng)點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)時(shí)，DE是⊙O的切線； 理由是：當(dāng)點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)時(shí)，則有AD⊥BC，且AD過圓心； 又∵DE//BC，∴AD⊥ED，∴DE是⊙O的切線；
（3）連線BO、AO，并延長AO交BC于點(diǎn)F，則AF⊥BC，且BF=CF=3， 又∵AB=5，∴AF=4。 設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OBF中，OF=4-r，OB=r，BF=3， ∴，解得，∴⊙O的半徑是。