Question

如圖，AB是半圓O的直徑，以O(shè)A為直徑的半圓O′與弦AC交于點(diǎn)D，O′E∥AC，并交OC于點(diǎn)E，則下列四個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)；②S_△O′OE=

1

2

S_△AOC；③2AD=AC；④四邊形O′DEO是菱形，其中正確的結(jié)論有

 

（填序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：連接OD，可知OD⊥AC，且OA=OC，所以有D為AC中點(diǎn)，可判斷①③；
利用中位線定理可知O′E=

1

2

AC，由相似三角形的面積比等于相似比的平方可判斷②；
利用反證法來判斷④，即如果四邊形O′DEO是菱形，則有AC=AO，但由題目條件并不一定滿足該條件，可判斷④的正確性．

解答：解：連接OD，
∵AO為⊙O′的直徑，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC，
∵OA=OC，
∴D為AC的中點(diǎn)，即AC=2AD，
∴①③正確；
∵O′E∥AC，O′為AO中點(diǎn)，
∴△OO′E∽△OAC，且

O′E

AC

=

1

2

，
∴

S△O′OE

S△AOC

=(

1

2

)2=

1

4

，即S_△O′OE=

1

4

S_△AOC，
∴②不正確；
當(dāng)四邊形O′DEO是菱形時(shí)，則O′E=AO′=

1

2

AC=

1

2

AO，
則有AC=AO，
由題可知該條件不一定成立，
∴④不正確；
綜上可知正確的為①③，
故答案為：①③．

點(diǎn)評：本題主要考查圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在解決有關(guān)圓的問題時(shí)注意利用半徑相等這一隱含條件，有關(guān)不成立的結(jié)論可以采用逆推法，即從結(jié)論入手看是否能找到所需要的條件．