Question

在平面直角坐標系中，直線AC交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點C，過點C作直線CB垂直AC交x軸于點B，且AB=25，OC=12，P在線段OC上，且PO、PC的長是關于x的方程x²-12x+32=0兩根（PO＜PC）
（1）求直線BC的解析式；
（2）點M（0，a）是y軸正半軸上一點，令S_△BMC=S，寫出S關于a的函數(shù)關系式；
（3）E在直線BC上，是否在平面上有一點F，使以點E、F、B、P為頂點的四邊形是菱形？若有直接寫出點E的坐標；若無，說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由OC⊥AB，CB⊥CA，結合射影定理可得AO•OB=OC²，且AB=25，可求得OB的長，則B點的坐標可得，進一步可求得BC的解析式；
（2）分M在C點上方和在C點下方，則可以表示出MC的長度，把MC當?shù)讋tOB為高，可表示出S和a的關系；
（3）根據(jù)菱形的性質，可得菱形的四邊相等，根據(jù)菱形的四邊相等，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）設B點坐標是（x，0），A點坐標是（25-x，0），由勾股定理，得
OA²+OC²=AC²，OB²+OC²=OB²，OA²+OB²=AB²，
即OA²+OC²+OB²+OC²=AB²，
（25-x）²+12²+x²+12²=25²，
化簡，得
x²-25x+144=0，
解得x=16或x=9，
B（16，0），或（9，0）．
當B（16，0）時，直線BC的解析式為y=-

3

4

x+12，
當B（9，0）時，直線BC的解析式為y=-

4

3

x+12；
（2）當B（16，0）時，M在C點上方，S_△BMC=

1

2

MC•OB=

1

2

（a-12）×16=8a-96；
當B（16，0）時，M在C點下方時，S_△BMC=

1

2

MC•OB=

1

2

（-a+12）×16=-8a+96；
當B（9，0）時，M在C點上方，S_△BMC=

1

2

MC•OB=

1

2

（a-12）×9=

9

2

a-54；
當B（9，0）時，M在C點下方時，S_△BMC=

1

2

MC•OB=

1

2

（-a+12）×9=-

9

2

a+54；
（3）解x²-12x+32=0，得
x=4或x=8（不符合題意的要舍去），
P（0，4）．
①當B（16，0）時，直線BC的解析式為y=-

3

4

x+12，時，設E（x，-

3

4

x+12），
EP=PF=FB=BE，得x²+（-

3

4

x+12-4）²=（x-16）²+（-

3

4

x+12）²，
解得x=

168

19

，-

3

4

x+12=

172

19

，E（

168

19

，

172

19

）；
EF=FP=PB=BE，得（x-16）²+（-

3

4

x+12）²=4²+16²，
解得x=

80+16 17

5

（不符合題意的要舍去）x=

80-16 17

5

，y=-

3

4

x+12=

12 17

5

，E（

80-16 17

5

，

12 17

5

）；
EP=PB=BF=FE，得x²+（-

3

4

x+12-4）²=4²+16²，
解得x=

96-4 5751

25

，y=-

3

4

x+12=

300+3 5751

25

，E（

96-4 5751

25

，

300+3 5751

25

）；
綜上所述：E（

168

19

，

172

19

），

80-16 17

5

，

12 17

5

），（

96-4 5751

25

，

300+3 5751

25

）；
②當B（9，0）時，直線BC的解析式為y=-

4

3

x+12，時，設E（x，-

4

3

x+12），
EP=PF=FB=BE，得x²+（-

4

3

x+12-4）²=（x-9）²+（-

4

3

x+12）²，
解得x=

483

248

，-

4

3

x+12=

683

62

，E（

483

248

，

683

62

）；
EF=FP=PB=BE，得（x-9）²+（-

4

3

x+12）²=4²+9²，
解得x=

96- 6641

18

，-

4

3

x+12=

132+2 6641

27

，E（

96- 6641

18

，

132+2 6641

27

）；
EP=PB=BF=FE，得x²+（-

4

3

x+12-4）²=4²+9²，
解得x=

96- 16391

25

，-

4

3

x+12=

516+4 16391

75

，E（

96- 16391

25

，

516+4 16391

75

），
綜上所述：E（

483

248

，

683

62

），（

96- 6641

18

，

132+2 6641

27

），（

96- 16391

25

，

516+4 16391

75

）．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了待定系數(shù)法求解析式，三角形的面積公式，菱形的性質，分類討論是解題關鍵，計算量大，題目難度較大．