Question

5．如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）直線CD交x軸于點(diǎn)E，過拋物線上在對(duì)稱軸的右邊的點(diǎn)P，作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)F，交直線CD于M，使PM=$\frac{2}{5}$EF，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線沿對(duì)稱軸平移，要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點(diǎn)，那么拋物線向上最多平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度，向下最多平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值即可得到所以拋物線解析式．再把解析式配成頂點(diǎn)式可得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為y=-x-3，再確定E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)P（t，t²-2t-3）（t＞1），則M（t，-t-3），F(xiàn)（t，0），則可用m表示出EF，PM，然后利用PM=$\frac{2}{5}$EF得到關(guān)于t的方程，再解方程求出t的值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x²-2x-3+m，利用方程x²-2x-3+m=-x-3有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解可判斷拋物線y=x²-2x-3+m與直線y=-x-3有唯一公共點(diǎn)，則可利用根的判別式求出拋物線向上最多平移的單位長(zhǎng)度；然后把E點(diǎn)和M點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=x²-2x-3+m中求出對(duì)應(yīng)的m的值，從而得到拋物線向下最多平移的單位長(zhǎng)度．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得a•1•（-3）=-3，解得a=1，
所以拋物線解析式為y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3；
因?yàn)閥=（x-1）²-4，
所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）；
（2）如圖，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
把C（0，-3），D（1，-4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{k+b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以直線CD的解析式為y=-x-3，
當(dāng)y=0時(shí)，-x-3=0，解得x=-3，則E（-3，0），
設(shè)P（t，t²-2t-3）（t＞1），則M（t，-t-3），F(xiàn)（t，0），
所以EF=t+3，PM=t²-2t-3-（-t-3）=t²-t，
而PM=$\frac{2}{5}$EF，
所以t²-t=$\frac{2}{5}$（t+3），
整理得5t²-7t-5=0，解得t₁=-$\frac{3}{5}$（舍去），t₂=2，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）；
（3）當(dāng)t=2時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-5），
設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x²-2x-3+m，
當(dāng)拋物線y=x²-2x-3+m與直線y=-x-3有唯一公共點(diǎn)，方程x²-2x-3+m=-x-3即x²-x+m=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解，則△=1-4m=0，解得m=$\frac{1}{4}$；
當(dāng)拋物線y=x²-2x-3+m經(jīng)過點(diǎn)M（2，-5），則4-4-3+m=-5，解得m=-2；
當(dāng)拋物線y=x²-2x-3+m經(jīng)過點(diǎn)E（-3，0），則9-2×（-3）-3+m=0，解得m=-12，
所以拋物線向上最多平移$\frac{1}{4}$個(gè)單位長(zhǎng)度，向下最多平移12個(gè)單位長(zhǎng)度．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；了解二次函數(shù)圖象的幾何變換．