Question

13．（1）填空：3¹-3⁰=2×3^{（　�。�}，3²-3¹=2×3^{（　�。�}，3³-3²=2×3^{（　�。�}，…
（2）探索（1）中式子的規(guī)律，試寫出第n個等式，并說明第n個等式成立；
（3）利用上述規(guī)律計算：3⁰+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶=$\frac{1}{2}$（3²⁰¹⁷-1），其末位數(shù)字是1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義進行計算即可得解；
（2）根據(jù)指數(shù)結(jié)果冪的指數(shù)比等式的序數(shù)小1解答；
（3）設(shè)S=3°+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶，然后表示出3S，再相減計算即可得解．

解答 解：（1）3¹-3⁰=2×3⁰，3²-3¹=2×3¹，3³-3²=2×3²．
（2）規(guī)律：3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1，
證明：3ⁿ-3^n-1=3×3^n-1-1×3^n-1=2×3^n-1；
（3）設(shè)S=3°+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶，
則3S=3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁷，
所以2S=（3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁷）-（3⁰+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶）=3²⁰¹⁷-1，
S=$\frac{1}{2}$（3²⁰¹⁷-1）
3²⁰¹⁷-1的個位數(shù)字是2，
則$\frac{1}{2}$（3²⁰¹⁷-1）的個位數(shù)字是1．
故答案為：0，1，2；$\frac{1}{2}$（3²⁰¹⁷-1），1．

點評 本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，主要利用了有理數(shù)的乘方的計算，難點在于（3）利用整體思想求解．