Question

已知拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，其中A（1，0），C（0，-3）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P異于點(diǎn)A）．
①如圖1，當(dāng)△PBC面積與△ABC面積相等時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②如圖2，當(dāng)∠PCB=∠BCA時(shí)，求直線(xiàn)CP的解析式．

Answer 1

解：（1）∵拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，且A（1，0），
∴B（3，0），
∴可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-1）（x-3），
將C（0，-3）代入，得-3=3a，
解得：a=-1，
故拋物線(xiàn)的解析式為：y=-（x-1）（x-3），即y=-x²+4x-3；

（2）①當(dāng)△PBC面積與△ABC面積相等時(shí)，分兩種情況：
（i）當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC的上方時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)BC的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P₁．
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b．
∵B（3，0），C（0，-3），
∴，解得，
∴直線(xiàn)BC的解析式為y=x-3．
∴設(shè)直線(xiàn)AP₁的解析式為y=x+n．
∵直線(xiàn)AP₁過(guò)點(diǎn)A（1，0），
∴1+n=0，解得n=-1．
∴直線(xiàn)AP₁的解析式為y=x-1．
解方程組，得，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（2，1）；
（ii）當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC的下方時(shí)，如圖1．
設(shè)直線(xiàn)AP₁交y軸于點(diǎn)E，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1）．
把直線(xiàn)BC向下平移2個(gè)單位，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P₂、P₃，得直線(xiàn)P₂P₃的解析式為y=x-5．
解方程組，得，
∴P₂的坐標(biāo)為（，），P₃的坐標(biāo)為（，）；
綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為：P₁（2，1），P₂（，），P₃（，）；

②∵B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°．
設(shè)直線(xiàn)CP的解析式為y=mx-3．
如圖2，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線(xiàn)，交CP于點(diǎn)Q．
∵∠ABC=45°，
∴∠CBQ=45°，
∴∠ABC=∠QBC，
又∵∠ACB=∠QCB，BC=BC，
∴△CAB≌△CQB，
∴AB=BQ=2，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，-2）．
∵直線(xiàn)CP過(guò)點(diǎn)Q（3，-2），
∴3m-3=-2，解得m=．
∴直線(xiàn)CP的解析式為y=x-3．
分析：（1）先由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，且過(guò)點(diǎn)A（1，0），根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得B的坐標(biāo)為（3，0），則可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-1）（x-3），再將C（0，-3）代入，可解得：a=-1，進(jìn)而求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）①由于同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，所以當(dāng)△PBC面積與△ABC面積相等時(shí)，將BC看作是底，那么這兩個(gè)三角形BC邊上的高相等．由于到一條直線(xiàn)距離相等的直線(xiàn)有兩條，所以分兩種情況進(jìn)行討論：（i）當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC的上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)BC的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P₁，先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式，則直線(xiàn)AP₁的比例系數(shù)與直線(xiàn)BC的比例系數(shù)相同，又直線(xiàn)AP₁過(guò)點(diǎn)A（1，0），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AP₁的解析式，再將它與拋物線(xiàn)的解析式聯(lián)立，組成方程組，解方程組求出點(diǎn)P₁的坐標(biāo)；（ii）當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC的下方時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AP₁交y軸于點(diǎn)E，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），由于直線(xiàn)AP₁與直線(xiàn)BC的距離等于直線(xiàn)P₂P₃與直線(xiàn)BC的距離，所以容易求出直線(xiàn)P₂P₃的解析式，再將它與拋物線(xiàn)的解析式聯(lián)立，組成方程組，解方程組求出點(diǎn)P₂、P₃的坐標(biāo)；
②先由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知OB=OC=3，則∠OCB=∠OBC=45°．設(shè)直線(xiàn)CP的解析式為y=mx-3．過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線(xiàn)，交CP于點(diǎn)Q，利用ASA證明△CAB≌△CQB，則AB=BQ=2，得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，-2），將它代入y=mx-3，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)CP的解析式．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．