Question

如圖所示，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，拋物線y=-x²+bx+c 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）若P是拋物線上一點(diǎn)，且S_△ABP=

1

2

S_△ABC，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)請(qǐng)直接寫出它們的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）先根據(jù)直線y=-x+3求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將它們代入拋物線中即可求出待定系數(shù)的值．
（2）令y=0，則-x²+2x+3=0，解方程即可求得；
（3）根據(jù)已知求得P的縱坐標(biāo)，代入y=-x²+2x+3即可求得P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是
B（3，0），C（0，3），
∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，
∴c=3
∴-9+3b+3=0，
得到b=2，
∴拋物線的解析式．
（2）令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴AB=4，
∴S_△ABC=

1

2

AB•y_c=

1

2

×4×3=6；
（3）設(shè)P的縱坐標(biāo)為n，
∵S_△ABP=

1

2

S_△ABC，
∴S_△ABP=3，
即

1

2

AB•|n|=3，解得n=±

3

2

，
∴±

3

2

=-x²+2x+3，解x=

2± 10

2

或x=

2± 22

2

，
∴這樣的點(diǎn)P有4個(gè)，它們分別是（

2+ 10

2

，

3

2

），（

2- 10

2

，

3

2

），（

2+ 22

2

，-

3

2

），（

2- 22

2

，-

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法、圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．