Question

如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB. （1）求證：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）設(shè)AP=x， △PBE的面積為y. ① 求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍； ② 當(dāng)x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值.

Answer 1

（1） ① ∵ 四邊形ABCD是正方形，AC為對角線， ∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°. ∵ PC=PC， ∴ △PBC≌△PDC （SAS）. ∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC. 又∵ PB= PE ， ∴ PE=PD. ； ② （i）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上(E與B、C不重合)時， ∵ PB=PE， ∴ ∠PBE=∠PEB， ∴ ∠PEB=∠PDC， ∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°， ∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°， ∴ PE⊥PD； （ii）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時，PE⊥PD. （iii）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時，如圖. ∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2， ∴ ∠DPE=∠DCE=90°， ∴ PE⊥PD. 綜合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD； （2）① 過點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為F，則BF=FE. ∵ AP=x，AC=， ② ∴ 當(dāng)時，y最大值.