Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，點E為AB上一點，且CE⊥DE，CB、DE的延長線交于點F．
（1）求證：；
（2）已知EF=5，F(xiàn)B=3，求BC的長．

Answer 1

（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠EFB；
又∵∠AED=∠BEF（對頂角相等），CE⊥DE，
∴∠FEB+∠BEC=∠AED+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BEC；
在△ADE和△BEC中，
∠ADE=∠BEC，
∠A=∠ABC=90°，
∴△ADE∽△BEC，
∴；

（2）解：∵CE⊥DE，AB⊥FC，
∴∠FEB+∠BEC=∠F+∠FEB=90°，
∴∠F=∠BEC；
在△EFB和△CFE中，
∠F=∠BEC，
∠EBF=∠CEF=90°，
∴△EFB∽△CFE；
而EF=5，F(xiàn)B=3，
∴
∴3CF=25，
∴CF=，
∴BC=FC-FB=-3=．
分析：（1）先證△ADE∽△BEC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例證得；
（2）先證得△EFB∽△CFE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得CF=，所以由BC=FC-FB來求BC的長度即可．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．在求相似三角形中的線段的長度時，利用了相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)．