Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點P在AC邊上，過P點作直線MN交BC延長線于N，交AB于M，且∠APM=∠A．
求證：點M在BN的垂直平分線上．

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質

專題：證明題

分析：先根據(jù)兩角互余的性質得出∠A+∠B=90°，∠N+∠CPN=90°，再由對頂角相等可得出∠CPN=∠APM，因為∠APM=∠A可知∠N+∠A=90°，故∠B=∠N，由此可得出結論．

解答：證明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠N+∠CPN=90°．
∵∠CPN與∠APM是對頂角，
∴∠CPN=∠APM．
∵∠APM=∠A，
∴∠N+∠A=90°，
∴∠B=∠N，即BM=MN，
∴點M在BN的垂直平分線上．

點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質，熟知垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關鍵．