Question

如圖所示，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，點P從點B出發(fā)，沿BC向點C以2cm/s的速度移動，點Q從點C出發(fā)沿CA向點A以1cm/s的速度移動，如果P、Q分別從B、C同時出發(fā)，過多少秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△ABC相似？

Answer 1

解：∵∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，
∴設AC=3xcm，AB=5xcm，
則BC==4x（cm），
即4x=8，
解得：x=2，
∴AC=6cm，AB=10cm，
∴BC=8cm，
設過t秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△ABC相似，
則BP=2tcm，CP=BC-BP=8-2t（cm），CQ=tcm，
∵∠C是公共角，
∴①當，即時，△CPQ∽△CBA，
解得：t=2.4，
②當，即時，△CPQ∽△CAB，
解得：t=，
∴過2.4或秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△ABC相似．
分析：由∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，利用勾股定理即可求得AB與AC的長，然后設過t秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△ABC相似，則可得BP=2tcm，CP=BC-BP=8-2t（cm），CQ=tcm，再分別從當時，△CPQ∽△CBA與當時，△CPQ∽△CAB，去分析求解即可求得答案．
點評：此題考查了相似三角形的判定與勾股定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．