Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象交于一、三象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，-2），tan∠BOC=

2

5

．若M是直線AB上一點(diǎn)，使得△MBO∽△OBC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：由正切值可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，代入一次函數(shù)可求得一次函數(shù)的解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，可求得BC、OC、BO的長(zhǎng)度，再設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出OM，再由相似得到線段比例，可解得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：如圖過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D，
則tan∠BOC=

BD

OD

=

2

5

，
又因?yàn)锽點(diǎn)坐標(biāo)為（n，-2），
所以BD=2，OD=-n，
即

2

-n

=

2

5

，
解得n=-5，
所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，-2），
又因?yàn)锳點(diǎn)也在反比例函數(shù)圖象上，
所以2m=-5×（-2）=10，
解得m=5，
所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5），
把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=kx+b可得

2k+b=5 -5k+b=-2

解得

k=1 b=3

，即一次函數(shù)解析式為y=x+3，
所以可求得C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），
因?yàn)镸點(diǎn)在直線AB上，可設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+3），
則OM=

x2+(x+3)2

，
在△OBC中，OB=

OD2+BD2

=

52+22

=

29

，
OC=3，OD=5，所以CD=5-3=2，且BD=2，所以可求得BC=2

2

，
要使△MBO∽△OBC，則有

OM

OC

=

BO

BC

，即

x2+(x+3)2

3

=

29

2 2

，
兩邊平方整理可得：16x²+48x-15=0，
解得x=±

1

4

51

-

3

2

，
當(dāng)x=-

1

4

51

-

3

2

時(shí)，x+3=

3

2

-

1

4

51

，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

1

4

51

-

3

2

，

3

2

-

1

4

51

），
當(dāng)x=

1

4

51

-

3

2

時(shí)，x+3=

3

2

+

1

4

51

，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

4

51

-

3

2

，

3

2

+

1

4

51

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)及相似三角形的應(yīng)用，求出一次函數(shù)的解析式，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用相似的性質(zhì)得出關(guān)于M坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵．