Question

14．已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=$\frac{20}{3}$，AE⊥BD，垂足是E．點F是點E關(guān)于AB的對稱點，連接AF、BF．
（1）求AE和BE的長；
（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，平移中的△ABF為△A₁B₁F₁設(shè)平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度）．
①當(dāng)點F分別平移到線段AB上時，求出m的值
②當(dāng)點F分別平移到線段AD上時，當(dāng)直接寫出相應(yīng)的m的值．
（3）如圖②，將△ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A′F′所在的直線與直線AE交于點O，當(dāng)∠A′BD=∠FAB時，請直接寫出OB的長．

Answer 1

分析 （1）利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解；
（2）依題意畫出圖形，如答圖2所示．利用平移性質(zhì)，確定圖形中的等腰三角形，分別求出m的值；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，分兩種情形分別求解即可．

解答 解：（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD=$\frac{20}{3}$，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{20}{3}）^{2}}$=$\frac{25}{3}$．
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AE=$\frac{1}{2}$AB•AD，
∴AE=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{5×\frac{20}{3}}{\frac{25}{3}}$=4．
在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：BE=3．

（2）設(shè)平移中的三角形為△A′B′F′，如答圖2所示：
由對稱點性質(zhì)可知，∠1=∠2．
由平移性質(zhì)可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．

①當(dāng)點F′落在AB上時，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′=3，即m=3；
②當(dāng)點F′落在AD上時，
∵AB∥A′B′，
∴∠6=∠2，
∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又易知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D為等腰三角形，
∴B′D=B′F′=3，
∴BB′=BD-B′D=$\frac{25}{3}$-3=$\frac{16}{3}$，即m=$\frac{16}{3}$．

（3）如圖3中，設(shè)AE交BA′于K．

∵∠KBE=∠FAB=∠BAE，∠KEB=∠AEB，
∴△EKB∽△EBA，
∴可得BE²=EK•EA，
∴EK=$\frac{9}{4}$，
 在Rt△BEK中，BK=$\sqrt{B{E}^{2}+K{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴A′K=5-$\frac{15}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∵∠A′=∠KBE，
∴OA′∥BE，
∴$\frac{OK}{KE}$=$\frac{A′K}{BK}$，
∴$\frac{OK}{\frac{9}{4}}$=$\frac{\frac{5}{4}}{\frac{15}{4}}$，
∴OK=$\frac{3}{4}$，
∴AO=AE-OK=KE=1．
如圖4中，當(dāng)∠DBA′=∠BAF時，點A′在線段BC上，

易證∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，設(shè)OA=OB=x，
在Rt△OBE中，∵OB²=OE²+BE²，
∴x²=3²+（4-x）²，
∴x=$\frac{25}{8}$，
∴OA=$\frac{25}{8}$，
綜上所述，滿足條件的OA的長為1或$\frac{25}{8}$．

點評 本題是幾何變換壓軸題，涉及旋轉(zhuǎn)與平移變換、矩形、勾股定理、等腰三角形等知識點．第（3）問難度很大，解題關(guān)鍵是畫出各種旋轉(zhuǎn)圖形，依題意進行分類討論；在計算過程中，注意識別旋轉(zhuǎn)過程中的不變量，注意利用等腰三角形的性質(zhì)簡化計算．