Question

1．如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B、C，PC=2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E，證明：
（1）BE=EC；
（2）AD•DE=2PB²．

Answer 1

分析 （1）連接OE，OA，證明OE⊥BC，于是證得E是$\widehat{BC}$的中點，進而證得結(jié)論；
（2）利用切割線定理證得PD=2PB，PB=BD，然后根據(jù)相交弦定理即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連接OA，OE，則∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，
∵PC=2PA，D為PC的中點，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，
∴OE⊥BC，
∴E是$\widehat{BC}$的中點，
∴BE=EC；

（2）∵PA是⊙O的切線，
根據(jù)切割線定理得：PA²=PB•PC，
∵PC=2PA，
∴PA=2PB，
∴PD=2PB，
∴PB=DB，
∴BD•DC=PB•2PB，
根據(jù)相交弦定理得：BD•DC=AD•DE，
∴AD•DE=2PB²．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，切割線定理，相交弦定理，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．