Question

【題目】在△ABC中，CA＝CB，0°＜∠C≤90°．過點A作射線AP∥BC，點M、N分別在邊BC、AC上（點M、N不與所在線段端點重合），且BM＝AN，連結BN并延長交AP于點D，連結MA并延長交AD的垂直平分線于點E，連結ED．

（猜想）如圖①，當∠C＝45°時，可證△BCN≌△ACM，從而得出∠CBN＝∠CAM，進而得出∠BDE的大小為　 　度．

（探究）如圖②，若∠C＝α．

（1）求證：△BCN≌△ACM．

（2）∠BDE的大小為　 　度（用含a的代數式表示）．

（應用）如圖③，當∠C＝90°時，連結BE．若BC＝3，∠BAM＝15°，則△BDE的面積為　 　．

Answer 1

【答案】【猜想】135°；【探究】（1）詳見解析；（2）α或（180﹣α）；【應用】9﹣9．

【解析】

猜想：如圖（1）中，延長ED交BC于點F，交AC于點O．想辦法證明∠BNC＝∠BFE，再利用三角形的外角的性質即可解決問題；

探究：（1）同理根據SAS證明：△BCN≌△ACM；

（2）分兩種情形討論求解即可，①如圖2中，當點E在AM的延長線上時，②如圖4中，當點E在MA的延長線上時，分別計算即可；

應用：如圖3，分別計算BD和DE的長，證明△EAD是等邊三角形，根據三角形的面積公式可得結論．

猜想：證明：如圖1中，延長ED交BC于點F，交AC于點O，

∵CB＝CA，

∴∠ABM＝∠BAN，

∵CA＝CB，BM＝AN，

∴CM＝CN，

∵∠C＝∠C，

∴△BCN≌△ACM（SAS），

∴∠CBN＝∠CAM，

∵E是AD的垂直平分線上的點，

∴EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∵AD∥BC，

∴∠EAD＝∠EMF，∠EDA＝∠EFM，

∴∠BNC＝∠BFE，

∴∠NOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，

∵∠C＝45°，∠FOC＝∠NOD，

∴∠NDO＝45°，

∴∠BDE＝135°，

故答案為：135°；

探究：

（1）證明：∵CA＝CB，BM＝AN，

∴CA﹣AN＝CB﹣BM，

∴MC＝NC，

又∵∠C＝∠C，

∴△BCN≌△ACM（SAS）；

（2）分兩種情況：

①如圖2中，當點E在AM的延長線上時，

易證：∠CBN＝∠ADB＝∠CAN，∠ACB＝∠CAD，

∵EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∴∠CAM+∠CAD＝∠BDE+∠ADB，

∴∠BDE＝∠CAD＝∠ACB＝α．

如圖4中，當點E在MA的延長線上時，延長ED交BC的延長線于點F，

同理得△BCN≌△ACM（SAS），

∴∠CBN＝∠CAM，

同理得：∠BNC＝∠AMC＝∠BFE，

∴∠BNC+∠NBC＝∠NBC+∠BFE，

∴∠ACB＝∠BDF＝α，

∴∠BDE＝180°﹣α．

故答案為：α或（180﹣α）；

應用：

如圖3，同（2）得：∠BDE＝180°﹣∠ACB＝90°，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，

∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∵∠BAM＝15°，

∴∠CAM＝∠CBN＝30°，

Rt△BNC中，CN＝，BN＝，

∴AN＝AC﹣CN＝3﹣，

∵AD∥BC，

∴∠DAN＝∠ACB＝90°，∠ADN＝∠NBC＝30°，

∴DN＝2AN＝6﹣2，AD＝AN＝3﹣3，

∴BD＝BN+DN＝2+6﹣2＝6，

∵EA＝ED，∠EAD＝60°，

∴△EAD是等邊三角形，

∴ED＝AD＝3﹣3，

∴S△BDE＝

故答案為：9﹣9．