Question

3．已知關(guān)于x的一元二次方程（k-1）x²-2x+1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)x₁、x₂是方程的兩根，是否存在實(shí)數(shù)k使得${x}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=2成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程（k-1）x²-2x+1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，得出△＞0，求出k的值，再根據(jù)k-1≠0，即可得出答案；
（2）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)k使得${x}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=2成立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x₁x，與x₁+x₂的值，再把${x}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$進(jìn)行整理，求出k的值，從而得出答案．

解答 解：（1）∵方程（k-1）x²-2x+1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，即：4-4（k-1）＞0，
解得：k＜2，
又∵k-1≠0，
∴k的取值范圍是：k＜2且k≠1；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k使得${x}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=2成立：
∵x₁x₂=$\frac{1}{k-1}$，x₁+x₂=$\frac{2}{k-2}$，
∴${x}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（$\frac{2}{k-1}$）²-$\frac{2}{k-1}$=2，
解得：k₁=-1，k₂=2，
由（1）知：k＜2且k≠1，
∴k=-1，
即：當(dāng)k=-1時，${x}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=2成立．

點(diǎn)評 本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．