Question

1．如圖所示，直線DP和圓O相切于點(diǎn)C，交直徑AE的延長線于點(diǎn)P．過點(diǎn)C作AE的垂線，交AE于點(diǎn)F，交圓O于點(diǎn)B．作平行四邊形ABCD，連接BE，DO，CO．
（1）求證：DA=DC；
（2）求∠P及∠AEB的大�。�

Answer 1

分析 （1）欲證明DA=DC，只要證明Rt△DAO≌△Rt△DCO即可；
（2）想辦法證明∠P=30°即可解決問題；

解答 （1）證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∵CB⊥AE，
∴AD⊥AE，
∴∠DAO=90°，
∵DP與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴DC⊥OC，
∴∠DCO=90°，
在Rt△DAO和Rt△DCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{DO=DO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAO≌△Rt△DCO，
∴DA=DC．

（2）∵CB⊥AE，AE是直徑，
∴CF=FB=$\frac{1}{2}$BC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，
∴CF=$\frac{1}{2}$AD，
∵CF∥DA，
∴△PCF∽△PDA，
∴$\frac{PC}{PD}$=$\frac{CF}{DA}$=$\frac{1}{2}$，
∴PC=$\frac{1}{2}$PD，DC=$\frac{1}{2}$PD，
∵DA=DC，
∴DA=$\frac{1}{2}$PD，
在Rt△DAP中，∠P=30°，
∵DP∥AB，
∴∠FAB=∠P=30°，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，
∴∠AEB=60°．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形中30度角的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．